Matemática básica Ejemplos

$\frac{8 p^{3} + 1}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $8 p^{3}$ como ${(2 p)}^{3}$ .

$\frac{{(2 p)}^{3} + 1}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Paso 1.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{{(2 p)}^{3} + 1^{3}}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Paso 1.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 2 p$ y $b = 1$ .

$\frac{(2 p + 1) ({(2 p)}^{2} - (2 p) \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Aplica la regla del producto a $2 p$ .

$\frac{(2 p + 1) (2^{2} p^{2} - (2 p) \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Paso 1.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - (2 p) \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Paso 1.4.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Paso 1.4.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Paso 1.4.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(4 p^{3} + 20 p^{2}) - p - 5}$

Paso 2.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{4 p^{2} (p + 5) - (p + 5)}$

Paso 2.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $p + 5$ .

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) (4 p^{2} - 1)}$

Paso 2.3

Reescribe $4 p^{2}$ como ${(2 p)}^{2}$ .

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) ({(2 p)}^{2} - 1)}$

Paso 2.4

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) ({(2 p)}^{2} - 1^{2})}$

Paso 2.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 p$ y $b = 1$ .

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) (2 p + 1) (2 p - 1)}$

Paso 3

Cancela el factor común de $2 p + 1$ .

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Paso 3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) (2 p + 1) (2 p - 1)}$

Paso 3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 p^{2} - 2 p + 1}{(p + 5) (2 p - 1)}$